Materi Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Aljabar yang kita pelajari dalam bab bertajuk bentuk aljabar, adalah cabang ilmu matematika dimana dalam penyelesaian masalah, angka akan digantikan dengan sebuah huruf.

Kata Aljabar sendiri diambil dari bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pengumpulan bagian yang rusak”. Istilah ini diambil dari judul buku Ilm al-jabr wa’l-muḳābala karya matematikawan dan astronom Persia, Al-Khwarizmi.

Awalnya, Aljabar disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi tulang. Makna matematisnya sendiri pertama kali tercatat pada abad ke-16.

Aljabar dibentuk oleh kombinasi huruf dan angka. Bentuk-bentuk yang dipisahkan dengan tanda penjumlahan disebut suku; huruf pada bentuk aljabar disebut variabel; angka yang menempel dengan variabel disebut koefisien; sedangkan angka yang tidak memiliki variabel disebut konstanta. Suku yang memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama disebut suku-suku sejenis. Yuk langsung saja, mari simak penjelasannya.

Macam-macam Operasi Hitung Aljabar :

1. Penjumlahan dan Pengurangan

2. Pembagian

3. Perkalian

4. Perpangkatan

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Untuk penjelasannya sebagai berikut:

1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan:

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut :

1.  –4ax + 7ax

2.  (2×2  – 3x + 2) + (4×2 – 5x + 1)

3.  (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)

 

Jawab :

1)  –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax

2)  (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1)

    = 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1     

    = 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1

    = (2 + 4)x2 + (–3 – 5)x + (2 + 1)

    = 6x2 – 8x + 3

3)   (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)

    = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2

    = 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2

    = (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2)

    = –a2 + 3a + 3

2. PEMBAGIAN

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal Pembagian. 

Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut :

1. 3xy : 2y

2. 6a³b² : 3a²b

3. x³y : ( x²y² : xy ) 

4. (24p²q + 18pq²) : 3pq

 

Jawab :

1. 3xy : 2y = 3xy

         2y

= 3 x (faktor sekutu y)

2

2. 6a³b² : 3a²b = 6a³b²

                                         3a²b

= 3a2b × 2ab (faktor sekutu 3a²b

      3a2b

=      2ab

3. x³y : ( x²y² : xy) = x³y :|x²y²|

                                         |  xy |

= x³y : | xy x xy|

                  |     xy     |

= x³y : xy = xy × x²

            xy

=      x²

4. (24p2q + 18pq2) : 3pq = 24p2q + 18pq2

                                                              3pq

= 6pq(4p + 3q)

                3pq

=      2(4p + 3q)

=      8p+ 6q

3. PERKALIAN

Perlu diingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku.

a) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu :

     a(b+c) = (ab)+(ac)

b) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu:

     a(b – c) = (ab) – (a c) 

Di mana untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

A. Perkalian antara konstanta dengan bentuk                 aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut :   

1. k(ax) = kax

2. k(ax + b)= kax + kb

 

Contoh Soal Perkalian 

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah :

a. 4(p + q)

b.      5(ax + by)

c.      3(x – 2) + 6(7x + 1)

d.    –8(2x – y + 3z)

 

Jawab :

a.        4(p + q) = 4p + 4q

b.        5(ax + by) = 5ax + 5by

c.         3(x – 2) + 6(7x + 1)

  = 3x – 6 + 42x + 6

  = (3 + 42)x – 6 + 6

    = 45x

d.        –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

 

B. Perkalian Antara Dua Bentuk Aljabar

Selain dengan cara memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut : 

 

a) Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut ini :

 

 

(ax + b)(cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)

= ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

= acx² + adx + bcx + bd

= acx² + (ad + bc)x + bd

 

b) Adapun perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut :

Dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut: 

(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx² + dx + e)+ b(cx² + dx + e)

= acx³ + adx² + aex + bcx² + bdx + be

= acx³ + (ad + bc)x²+ (ae + bd)x + be

 

Contoh Soal perkalian :

 

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut : 

1.  (2x + 3) (3x – 2)

2.  (–4a + b) (4a + 2b)

3. (2x – 1) (x² – 2x + 4)

4. (x + 2)(x – 2)

Jawab :

 

1. (2x + 3)(3x – 2) 

Kita selesaian dengan dua cara, yaitu sebagai berikut :

c) Cara (1) dengan sifat distributif.

 

(2x + 3)(3x – 2) 

= 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)

= 6x²– 4x + 9x – 6

= 6x² + 5x – 6

d) Cara (2) dengan skema.

 

= 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)

= 6x2– 4x + 9x – 6

= 6x2 + 5x – 6

 

2. (–4a + b)(4a + 2b) 

kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut :

e) Cara (1) dengan sifat distributif.

 

(–4a + b)(4a + 2b) 

= –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)

= –16a²– 8ab + 4ab + 2b²

= –16a²– 4ab + 2b²

• Cara (2) dengan skema

 

= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b

= –16a²– 8ab + 4ab + 2b²

= –16a²– 4ab + 2b²

 

3. (2x – 1)(x²– 2x + 4) 

kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut :

f) Cara (1) dengan sifat distributif.

 

(2x – 1) (x²– 2x + 4) 

= 2x(x²– 2x + 4) – 1(x²– 2x + 4)

= 2x³– 4x² + 8x – x² + 2x – 4

= 2x³– 4x²– x² + 8x + 2x – 4

= 2x³– 5x² + 10x – 4

• Cara (2) dengan skema

 

= 2x × x2 + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x² + (– 1) × (–2x) + (–1)×4

= 2x³– 4x² + 8x – x² + 2x – 4

= 2x³ 4x²– x² + 8x + 2x – 4

= 2x³– 5x² + 10x – 4

 

4. (x + 2)(x – 2)

kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut   :

g) Cara (1) dengan sifat distributif

 

(x + 2)(x – 2) 

= x(x – 2) + 2(x – 2)

= x²– 2x + 2x – 4

= x²– 4

h) Cara (2) dengan skema

 

= x × x + x × (–2) + 2 × x + 2 × (–2)

= x²– 2x + 2x – 4

= x²– 4

 

4. PERPANGKATAN

Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama.

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

 

Contoh soal  :

1. (–3p2q)²  = 9p4q²

2. (3xy)³ = 9x³y³

3.       (3x + 5) ² 

= 1(3x)²(5)0 + 2(3x)1(5)1+1(3x)0(5)²

= 1(9x²)(1) + 2(3x)(5) + 1(1)(25)

= 9x² + 30x + 25

 

5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR

Subtitusi pada bentuk Aljabar artinya mengganti simbol-simbol dalam bentuk aljabar dengan bilangan yang sudah diketahui sebagai pengganti simbol tersebut.

Contoh:

Jika a=2, b= -1, dan c= 3. Maka hitunglah bentuk aljabar dari 2ab+3b-c²

Jawab:

Perhatikan variabel a,b, dan c. Pada soal tersebut, lalu gantikan dengan diketahui pada soal diatas.

2ab+3b+c² = 2 (2)(-1)+3(-1)+(3²)

                    = (-4)-3+9

                    = 2

6. MENENTUKAN KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR

KPK atau Kelipatan Persekutuan terkecil dan FPB atau Faktor Persekutuan Terbesar pada bentuk Aljabar, pada prinsipnya sama dengan KPK dan FPB pada bilangan bulat.

Contoh soal KPK dan FPB Bentuk Aljabar.

Contoh:

Tentukan KPK dan FPB dari 4p²q dan 12pr

Jawab:

4p²q= 2² x p² x q (faktorisasi primanya)

12pr= 2² x 3 p x r (faktorisasi primanya)

 

Maka:

KPKnya = 2² x 3 x p² x q x r = 4 x 3 x p² x q x r = 12p²qr

Ingat syarat KPK yaitu cari yg sama dan pangkat terbesar, dan untuk yg tidak sama diikutkan.

 

FPBnya = 2² x p = 4p

Ingat syarat FPB yaitu cari yang sama dan pangkat terkecil, dan untuk yang tidak sama tidak usah diikutkan.

 

Semoga bermanfaat yakk, mohon maaf bila banyak kesalahan. Terimakasih semuanya. 

Penulis: Renalia Rhomadani

 

Enjoyed this article? Stay informed by joining our newsletter!

Comments

You must be logged in to post a comment.

Related Articles
Penulis

Nama lengkapku Renalia Rhomadani, saya tinggal di sebuah desa di Purwokerto, Banyumas, Jawa Tengah. Tepatnya desa Karangsalamkidul. Sekarang saya menjadi salah satu mahasiswi di sebuah perguruan tinggi islam negeri, Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Purwokerto, namanya.

Tulisan Populer
Mei 14, 2020, 4:39 PM - Aswan
Apr 11, 2020, 5:49 PM - Ruang Sekolah
Jun 1, 2020, 10:08 AM - Ruang Sekolah
Feb 1, 2020, 1:53 PM - Sumarni Safaruddin